Лекции по строительной механике Определение моментов Основы динамики стержневых систем Вынужденные колебания Устойчивость стержневых систем Плоские фермы. Неразрезные балки Расчет трехшарнирной арки или трехшарнирной рамы

Курс лекций по строительной механике

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим балку (рис. 9.6) с массой m. К массе приложена F(t) – возмущающая сила, создающая вынужденные колебания и изменяющаяся по гармоническому закону t. Частота возмущающей силы обозначена символом , а амплитудное значение возмущающей силы – F0.

 

 


Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу действуют силы: F(t) – возмущающая сила; J(t) – сила инерции.   частота возмущающей силы; амплитуда силы F(t).

Силами сопротивления, которые возникают при колебаниях, пренебрегаем. Перемещение массы в любой момент времени через единичное перемещение определяем по выражению 

.  (9.13) 

Подставим в (9.13) вместо инерционной силы J(t) выражение, представленное формулой (9.1)

. (9.14)

После раскрытия скобок в уравнении (9.14) и деления всех слагаемых на произведение массы и единичного перемещения получаем

 .  (9.15) 

Обозначим в (9.15) w =  - собственная частота колебаний. Уравнение (9.15) принимает вид

 .  (9.16) 

Как известно, полное решение дифференциального уравнения (9.16) представляют в виде . Общее у0 решение представляет собой решение однородного дифференциального уравнения. Частное у2 решение уравнения (9.16) ищем в виде ;  С учётом изложенного уравнение (9.16) примет следующий вид:

  (9.17)

Из уравнения (9.17) следует, что постоянная интегрирования С может быть найдена из выражения

 . (9.18)

С учетом  постоянная интегрирования С получается равной

.  (9.19) 

В (9.19) yст = F0δ11. Замечаем, что амплитуда вынужденных колебаний от силы, изменяющейся по гармоническому закону, больше, чем прогиб от силы, приложенной статически. Обозначим  - динамический коэффициент. График изменения динамического коэффициента μ в зависимости от отношения  показан на рис. 9.7.

 


При   = 1 коэффициент μ равен ∞, что означает бесконечно большие прогибы в конструкции, а это равносильно ее разрушению. Явление, при котором частота собственных колебаний ω совпадает с частотой возмущающей силы , называется резонансом. Резонанс опасен для конструкций, поэтому надо стремиться к тому, чтобы частоты ω и  не совпадали.

Полное решение дифференциального уравнения (9.16) для вынужденных колебаний имеет вид

  . (9.20) 

Анализируя выражение (9.20), отмечаем, что первые два слагаемые описывают собственные колебания и быстро затухают. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания, которые остаются и имеют ту же частоту,  что и возмущающая сила F(t).

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды Рассмотрим невесомую балку, весом которой по сравнению с массой m пренебрегаем

Собственные колебания системы с конечным числом степеней свободы Рассмотрим балку с n сосредоточенными массами, которые совершают собственные колебания в вертикальной плоскости. Вращения, горизонтальные смещения масс и силы сопротивления внешней среды при анализе колебательного процесса не учитываются.

Вынужденные колебания систем с n степенями свободы


Строительная механика Расчет трехшарнирной арки или трехшарнирной рамы