Сопромат Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня. Вычисление потенциальной энергии Способ сравнения деформаций.

Сопромат курс лекций и примеры решения задач

Вычисление потенциальной энергии.

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними.

Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина работы , а следовательно, и величина энергии U равняется:

В случае сдвига

При кручении

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе.

Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов(Рис.1) повернутся на угол , где — центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом р оси балки.



Рис.1. Модель расчета потенциальной энергии при чистом изгибе.

Тогда

так как из общей теории изгиба а

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином «обобщенная сила» всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть «обобщенной координатой».

«Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил — это угол поворота сечения по направлению действия пары.

Теорема Кастильяно. Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации.

Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут .

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора. Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки.

Теорема Максвелла—Мора. Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы

Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил численно представляет собой изгибающий момент от пары с моментом, равным единице, приложенной в том же сечении, где имеется пара , и направленной в ту же сторону.

Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений.


Основы вибропрочности конструкций